近日，计算力学领域旗舰期刊Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (CMAME)在线发表了工程力学系钟万勰院士课题组有关非线性浅水波方程及保辛算法研究的新成果。该研究针对具有复杂地形和干湿界面的浅水波问题，通过将Lagrange坐标与Hamilton变分原理结合，给出了一种新的基于位移的浅水波方程，并基于离散Hamilton变分原理，构造了非线性浅水波数值模拟的保辛计算格式。（全文链接：http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2017.01.040）
浅水波是一种水深相对波长很小的水波，又称长波，是自然界中广泛存在的一种物理现象。海啸、潮波、孤立波、溃坝、天气预报、木星红斑、光纤通讯等等许多问题，均需要使用浅水波理论，因此近20年来，关于浅水波的数值模拟研究发展迅速。然而目前的浅水波数值方法，采用的是Euler坐标，以流速为基本未知量，在处理复杂地形和干湿界面时，存在多个数值困难。复杂地形经常导致解的协调性问题，即数值解中存在非物理的虚假振动，静水可变动，质量和能量不能守恒。干湿界面处的真实水深为零，而现有算法在处理干湿界面时，常常导致负水深、解的震荡、水量的损失等问题。解的协调性问题和干湿界面是浅水波数值模拟的两大难题。尤其是对于干湿界面问题，目前还没有算法可以很好地数值模拟。
为了解决浅水波数值模拟中复杂地形和干湿界面带来的种种数值困难，工程力学系钟万勰院士带领博士后吴锋开展了深入系统的相关研究。他们通过引入位移变量描述水波，提出了浅水波问题的Hamilton变分原理。在所建立的变分框架下，干湿界面的边界条件可以自动满足。而基于离散Hamilton变分原理，可以建立描述浅水波非线性演化行为的保辛计算格式，可以保证能量守恒，保证解的协调性，不存在静水变动、干湿界面处负水深、水量的损失等问题。基于这些结果，还可以进一步研究有限深度水波、海洋内波、浅水机械激波等问题。CMAME审稿人对这一工作予以了极高评价：“在我看来，该文章给出了重要的结果，提出了很好且有趣的观点，…，该文章不仅写得很好，亦是对该领域的重要贡献，我祝贺作者…，我相信该文章是浅水理论研究的一个重大贡献。为解决干湿界面问题，我们中许多人已经奋斗了好多年，而该文章提供了一个解，为处理干湿界面问题提供了的坚实的数学基础，且此数学基础是目前的Eulerian数值方法所没有的。我对于该文工作感到十分兴奋并认为此文需要尽快发表（“ In my opinion this paper has important results and it makes some good points that are interesting, …, I would like to congratulate the authors on a very well-written paper and important contribution to the literature, …, I believe this paper is a major contribution to the shallow water literature, and may provide a solution to the wet-dry problem which many of us have been struggling with for many years. At the very least, it provides a strong mathematical foundation for handling the wet-dry interface, which has been lacking in standard Eulerian based numerical methods. I am excited about this work and believe it needs to be published as soon as possible”）”。
该研究工作得到了国家自然科学基金面上项目、青年基金和中国博士后基金等的资助。
(投稿人：王缙)
